Tomoki Kawahira
/ Graduate School of Economics / Hitotsubashi University
Tomoki Kawahira
/ Graduate School of Economics / Hitotsubashi University
複素関数の初歩を学びます．
（講義で配布したプリントをまとめたものはこちらです→
12S-kansuron.pdf
）
第14回(2012/07/31) 期末試験
● 中間試験未受験者は欠席として扱います．
● 当日は座席指定します．学生証を忘れずに．
第13回(2012/07/17) 実積分への応用
● 留数定理の証明を概説したあと，実積分への応用を３つ紹介しました．
● この部分のノート・演習問題の解答は7月24日までにアップされます．
第12回(2012/07/10) 留数定理
● まず指数関数の級数展開をMathematicaで図解しました．
また，オイラーの等式について補足しました．
● ローラン級数の証明を簡単にスケッチし具体例をみたあと，
積分が留数で表される原理を説明し，
留数定理の主張と具体例をひとつやりました．
第11回(2012/07/03) べき級数展開
● 数列・級数の収束を定義し，ついでに絶対収束について復習しました．
● 正則関数は（無限）テイラー展開できることを証明（up to 項別積分）しました．
例をいくつか計算．
● テイラー展開の拡張として，ローラン展開が円環領域でできることを主張として述べました．
証明と計算例は来週に．
第10回(2012/06/26) 積分公式の応用
● 今日はもりだくさんです．（したがって消化不良になりやすい．）
コーシーの積分公式の応用として，
正則関数の無限回微分可能性，リウヴィルの定理，代数学の基本定理とその証明をやりました．
● 最大値原理についても，主張だけ説明しました．
証明はプリントにて．
第9回(2012/06/19) 積分定理の応用＋積分公式
● コーシーの積分定理の応用として，「基本公式２」と実積分の計算をやりました．
そのあと，積分定理の証明を（グリーンの定理を仮定しつつ）やりました．
● 時間があまったので，コーシーの積分公式の主張と証明を終わらせました．
第8回(2012/06/12) コーシーの積分定理
● 複素線積分の具体的な計算をいくつかやったあと，
コーシーの積分定理の主張を述べました．
証明は次回（おそらくスケッチのみ）．
● これを用いて，単連結領域内では正則関数の複素線積分が端点だけで決まることを証明しました．
第7回(2012/06/05) 中間試験
● 単位がほしい人は必ず受験してください！
● 当日は座席を指定します．学生証を忘れないように！
第6回(2012/05/28) コーシー・リーマンの応用・複素線積分（その１）
● 前回の復習として，コーシー･リーマンの方程式の応用を2つやりました．
正則関数の実部と虚部になりうる関数のペアは非常に限られている，
ということを強調しました．
● (x,y) -> (x^2 + y^2, 2xy) と2乗関数の作用をMathematicaで比較するデモンストレーションをやりました．
● （中間試験範囲外）複素線積分とは何か，概念的な説明（「仮想短冊の和」）から初めて，
一応定義まで終わらせました．
第5回(2012/05/22) コーシー・リーマン方程式
● 正則関数の微分の公式（ライプニッツ則や合成関数の微分）
について説明したあと，実2次元写像として複素関数を解釈しなおす作業を少々．
● さらに，与えられた実2次元写像が正則写像の「別名」であるための必要十分条件について考察．ヤコビ行列が局所的に回転・拡大になっているという条件から，
コーシー・リーマンの方程式を定式化しました．
定理の形で述べた必要十分条件の証明はプリントでお渡しします．
● 応用として，指数関数の微分がやはり指数関数になることを確認しました．
また，正則でない例を2つ紹介しました．
来週はパソコンで正則でない写像の例をお見せします．
● 中間テスト対策および中間テストの難易度調整のため，
自宅模擬テストを配布しました．
● 前回配布したレポート問題4－1 (5)
に間違いがあることを指摘していただきました．
上のファイルでは直してあります．
第5回(2012/05/15) 複素関数の微分
● ２乗関数の局所的な変化を具体例で確認したあと，
一般化として複素関数の微分と「正則関数」を定義しました．
● 2乗関数の作用をMathematicaでデモンストレーション．
その後「微分可能でない関数」（複素共役）を解説しました．
● 前回配布したレポート問題3－2に間違いがあることを指摘していただきました．
上のファイルでは直してあります．
第4回(2012/05/08) 三角関数・関数の連続性
● まずMathematicaを用いて，
指数関数の像を視覚化するプログラムのプレゼンテーションをやりました．
前回の復習（複素対数・複素べき）のあと，
三角関数を定義しました．
● 関数の極限と連続性を定義しました．
（ε-δを使わずに極限について語るのは久々でしたが，
なんとも心もとない感じがします．）
具体例として z の2乗と指数関数が複素平面上のすべての点で
連続であることを確認しました．
● 授業改善アンケートを実施しました．
第3回(2012/05/01) 指数・対数関数と複素べき
● 指数関数によるタテ線・ヨコ線の像がどのようになるか確認しました．
● 対数と対数関数を定義し，
それを用いて「複素数の複素数乗」を定義しました．
第2回(2012/04/24) オイラーの公式と指数関数
● まず前回の「積の公式」の応用として，ド・モアブルの公式をやりました．
● 次にオイラーの公式を指数関数のマクローリン展開に純虚数を代入して導きました．
収束性はしばらくあとで，べき級数のところで正当化しますが，
一旦これを「公式」として認めて指数関数を定義しました．
さらに指数法則，周期性を確認して，最後に１のN乗根を計算して終わりました．
第1回(2012/04/17) 複素数と複素平面
● （実2次元ベクトルの別名として）複素数を定義し，
極形式，共役複素数などの言葉を定義しました．
最後に複素数の積を極形式で計算し，その幾何学的な意味を確認しました．