Tomoki Kawahira
/ Department of Mathematics / Tokyo Insitiute of Technology
Tomoki Kawahira
/ Department of Mathematics / Tokyo Insitiute of Technology
ベクトル解析を学びます．
（講義で配布したプリントをまとめたものはこちらです→
15W-kaiseki.pdf
）
第15回(2016/2/5) 期末試験
● 平均点は80点満点中62.0点（得点率77.5%）でした．
各設問ごとの平均点は(1)18.8，(2)18.8，(3)17.6，(4)15.6点でした．
すこし易しかったかもしれませんが，
みなさん，なかなかの計算力だと思います．
第14回(2016/1/29) 微分形式入門 2（ストークスの定理）
● 外微分とその性質を復習したあと，微分形式の微分を次数ごとに定義しました．
● ストークスの定理，ガウスの発散定理，ハイキングの原理をそれぞれ1-形式，2-形式，0-形式の積分に関する定理の形で述べて，それを「一般化されたストークスの定理」というかたちでまとめました．
第13回(2016/1/22) 微分形式入門 2（外微分）
● 微分形式の(形式的な）定義を復習して，行列式と3-形式の関係を解説しました．
●
外微分を次数ごとに定義して，grad, div, rot が自然に現れることを確認しました．
第12回(2016/1/14) 微分形式入門 1
● ポアンカレの補題のベクトルポテンシャル版を紹介しました．
● 微分形式の定義をして，ベクトルの内積・外積との関係を解説しました．
第11回(2016/1/8) 発散定理の証明
● 発散定理を定式化するのに，空間内の「線領域」，
「単純な閉領域」の概念を（便宜的に）導入しました．
● 発散定理の証明とごく簡単な具体例をやりました．
第10回(2015/12/18) 発散とガウスの発散定理
● ストークスの定理より回転がゼロベクトルになることとハイキングの原理が成り立つことが同値であることを示しました（いわゆるポアンカレの補題に相当するもの）．
● ベクトル場の発散の意味とガウスの発散定理の主張を述べました．
第--回(2015/12/11) 休講
第9回(2015/12/4) ストークスの定理の証明
● 曲面がC^2級の場合にストークスの定理を証明しました．
（平面のグリーンの定理に帰着させる方法．）
第8回(2015/11/27) 回転とストークスの定理
● 前半は曲面の向き付けについて，直感的に解説し，
ストークスの定理の主張をのべました．
● 後半は「無限小版ストークスの定理」と題して
微小平行四辺形上でストークスの定理が近似的に成り立つことを確認しました．
（プリントでは平行四辺形とベクトル場の各成分が
1次関数になっている場合に本当にストークスが成り立つことを示しています．）
第7回(2015/11/20) ベクトル場の回転と発散
● Mathematica でParametricPlot(3D)やVectorPlotのデモンストレーションをしました．
これで半分ぐらい時間をくってしまいました．
● 残り時間で面積分の値がパラメーターのとり方に依存しないこと，
回転と発散の定義をやりました．来週こそはストークスの定理に入りましょう．
第6回(2015/11/13) 面積分
● Mathematica で曲面の絵を見せたかったのですがプロジェクターが
うまく作動せず断念．
● 曲面の法線ベクトルを外積で表現し，
曲面積を重積分で定義，そのあとスカラー場の面積分，
ベクトル場の面積分をそれぞれ定義しました．
5分ほどオーバーしてしまいました．
ごめんなさい．
第5回(2015/11/6) 曲面のパラメーター表示
● まずグリーンの定理の証明のスケッチをしました．
● そのあと，「曲線」「滑らかな曲線」の定義を思い出しながら，
「曲面」「滑らかな曲面」の定義をしました．
また，接平面を定義しました．10分ほどオーバーしてしまいました．
ごめんなさい．
●
今日配布したレポート課題に誤植がありました．
訂正版はこちらです→
15W-kaiseki-04.pdf
なお，この問題は全員正解といたします．
第4回(2015/10/30) ベクトル場とグリーンの定理
● 一般の（平面上の）ベクトル場の定義と線積分をパラメーターを用いて定義しました．
そのあと，グリーンの定理とその応用として面積公式をやりました．
グリーンの定理の証明はプリントで済まそうかと思っています．
第3回(2015/10/23) 勾配ベクトル場と線積分
● ベクトル場の話をする前に勾配ベクトル場に
限定して線積分の定義とその意味をやることにしました．
「ハイキングの原理」（野山をめぐり同じ点に帰ってきたら同じ標高に戻る）
を数学的に定式化しました．証明は次回に．
第2回(2015/10/16) 多変数関数・ベクトル値関数の微分
● 多変数関数の微分可能性・勾配ベクトル，
ベクトル値関数のヤコビ行列について復習しました．
● （滑らかな）曲線とその速度ベクトルを定義しました．なかなか進みません．．
第1回(2015/10/2) ベクトルの内積・外積
● 講義の紹介をして，ベクトルの内積・外積と
その基本性質，
直線の方程式，平面の方程式について定義をのべたら
時間が来てしまいました．
● 多変数関数については次回プリントを使いつつ簡単におさらいしましょう．
● 次週10月9日は工大祭のためお休みです．