Tomoki Kawahira
/ Department of Mathematics / Tokyo Insitiute of Technology
Tomoki Kawahira
/ Department of Mathematics / Tokyo Insitiute of Technology
解析学（1変数・多変数の微分積分学）の基礎を学びます．
（講義で配布したプリントをまとめたものはこちらです→
16S-kaiseki.pdf
）
第16回(2016/8/1) 筆記試験
● 座席指定あり．学生証を持参してください．
●
第15回(2016/7/25) ベクトル値関数と逆関数の定理
● ベクトル値関数を定義し，微分としてのヤコビ行列とその連鎖律について説明しました．
● 逆関数の定理の意味と主張を述べました．
● 今回の内容は試験範囲には含まれません．
第14回(2016/7/18) 合成関数の微分とテイラー展開
● 曲線と多変数関数の合成関数の微分公式を勾配ベクトルと速度ベクトルの内積の形で与えました．
● 高階導関数を導入し，C^n級関数を定義しました．
● 「平均値の定理」の多変数関数版を証明しました．
また，その拡張として「テイラー展開」の多変数関数版を紹介しました．
第13回(2016/7/11) 方向微分と偏微分
● （座標系によらない概念として）方向微分を導入し，
全微分可能であれば任意の方向に沿った方向微分が存在することを示しました．
● 方向微分の特殊な場合として偏微分を定義しました．
全微分可能であれば偏微分可能であることを示しました．
● 残った時間で，「C^1級ならば全微分可能」であるという定理を述べました．
第12回(2016/7/4) 多変数関数の微分
● 開集合・閉集合などの定義をしたあと，多変数関数の極限・連続性の定義をしました．
● 多変数関数の全微分可能性と勾配ベクトルを定義しました．
第11回(2016/6/27) ユークリッド空間と1次関数
● 一般次元のユークリッド空間を定義し，
そこでの演算やユークリッド距離などの定義を確認しました．
● 点列（ベクトルの列）の収束や極限を定義しました．
また，ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理の高次元版をやりました．
● 一般次元の1次関数を定義し，内積との関連や
等高線が等間隔に並ぶという命題を紹介しました．
第10回(2016/6/20) 一様収束
● 関数の各点収束と一様収束を定義し，連続性，微分可能性が極限まで保存されるか，
積分値が収束するかについて議論しました．
第9回(2016/6/13) 微分可能性・テイラー展開
● 「微分可能性」「ロルの定理」「テイラー展開」などをちゃんと記憶してるか確認する「ちからだめし」テスト（提出しない）をやりました．
● プリントを配布し，いくつかポイントだけ重点的に解説しました．
具体的には，微分可能性の新しい定義，n回微分可能だがC^n級ではない関数の例など，レポート問題に関連する内容でした．
第8回(2016/5/30) 筆記試験
● 理解度確認のための筆記テストです．（午後の演習は通常どおり．）
第7回(2016/5/23) 一様連続性
● 連続性の定義を復習した後，一様連続性の定義と具体例（例題）をやりました．
● 閉区間上の連続関数は一様連続であることを証明しました．
第6回(2016/5/16) 関数の極限と連続性
● 関数の極限をε-δ式に定義しました．
● 連続関数の「中間値の定理」と「最大値・最小値の存在定理」をやりました．
証明はスケッチのみとしました．
第5回(2016/5/9) ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理と
上極限・下極限
● 集合の「集積点」を定義し，「有界な無限集合は集積点をもつ」
というワイエルシュトラスの定理を証明しました．
● つぎに数列の「部分列」を定義し，「有界な数列は収束する部分列を含む」
という「ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理」をしょうめいしました．
● 数列の「上極限」と「下極限」を定義しました．
第4回(2016/5/2) 単調列・コーシー列・区間縮小法
● 有界な単調列は収束することを証明しました．
● コーシー列は収束列であることを説明しました．
区間縮小法を用いて証明するつもりでしたが時間が足りず，
「コーシーなら収束」の詰めの部分は配布したプリントを読んでください，
ということにしてしまいました．
第3回(2016/4/25) 数列の収束と極限
● 数列の収束性の定義をε-N 式に定義したあと，
収束列の極限の四則，はさみうちの原理といった基本的な性質を紹介し，
一部証明しました．
● 無駄話が多く，10分ほどオーバーしてしまいました．
ペースアップしなくては．．
第2回(2016/4/18) 実数の連続性と上限・下限
● 実数の四則の定義の仕方について大雑把に述べました．
また，実数の切断を定義し，「実数の連続性」を定理として述べました
（証明はプリントで配布）．
● 実数の集合に対し，上限と下限を定義しました．
また，上限と下限の存在を保証する
「ワイエルシュトラスの定理」をのべました（こちらも証明はプリントで）．
第1回(2016/4/11) 実数の構成
● 講義の概要を説明したあと，「デデキントの切断」を用いて，
有理数の集合から実数を具体的に定義し，
任意の二つの実数の間には大小関係が入るところまでやりました．