Tomoki Kawahira
/ Department of Mathematics / Tokyo Insitiute of Technology
Tomoki Kawahira
/ Department of Mathematics / Tokyo Insitiute of Technology
ベクトル解析を学びます．
（講義で配布したプリントをまとめたものはこちらです→
16W-kaiseki.pdf
）
（上のpdfで訂正されている主な誤植一覧→
16W-kaiseki-typo.pdf
）
第15回(2017/2/6, 午後) 外微分とストークスの定理
● 3次までの微分形式に外微分を定義し，
ストークスの定理，ガウスの発散定理，ハイキングの原理をそれぞれ
「一般化されたストークスの定理」というかたちでまとめました．
第14回(2017/2/6) 筆記試験
● 座席指定あり．学生証を持参してください．
第13回(2017/1/30) 微分形式入門
● 微分形式を「形式的な記号として」定義し，
ベクトル場と対応付けることでウェッジ積から
ベクトル場の内積・外積が計算できることを確認しました．
第12回(2017/1/23) 発散定理の証明
● 「ガウスの発散定理」の証明がうまくいくような空間内の閉領域として，
「単純な閉領域」ということばを便宜的に導入しました．
● 「単純でない閉領域」の具体例をいろいろ考えてもらいました．
● 「ガウスの発散定理」の証明のポイントを説明しました．
● 「予習用のプリント
」を配布しましたがレポートには不要です．
第11回(2017/1/16) 発散とガウスの発散定理
● まず発散の「単位体積あたりの流出量」としての性質を確認．
● 「無限小ストークスの定理」と同じ考え方で，
「無限小ガウスの定理」を解説しました．
● 「予習用のプリント
」を配布しましたがレポートには不要です．
第10回(2016/12/16，午後) ストークスの定理の証明
● 無限小ストークスの定理について解説．
● ストークスの定理の証明をやりました．適切な課題が少なく，
計算の説明を聞くばかりでみんな眠そうでした．
● レポート問題を解くには「予習用のプリント
」が必要です．
第9回(2016/12/16，午前) ベクトル場の回転とストークスの定理
● 今回は返却すべきレポートがなかったので課題プリントを用いて席を割りあてました．
● スカラーポテンシャルの存在とrotの関係について復習．divとベクトルポテンシャルとの関係について，
前回話そびれたことを解説しました．
● 「単純な曲面」（この講義だけの便宜的な言葉）と曲面を複数の「単純な曲面」に分割できること，
「メビウスの帯」のようなに向き付け不可能な場合はどうか，などを課題としてやってもらいました．
● ストークスの定理の主張を述べて，それからグリーンの定理が導かれることを確認しました．
第8回(2016/12/5) ベクトル場の回転・発散とポテンシャル
● 試験の講評とアンケートへの簡単な回答をしました．
● レポート返却をかねて座席指定しましたが欠席者数・未提出者数が読めずすこし手間取ってしまいました．
● まずハイキングの原理の復習と，それを満たすようなベクトル場の条件は？という問いを設定しました．
● ベクトル場の回転と発散を導入し，rot(grad f) = 0 などの公式の確認をしました．また，スカラーポテンシャルの存在定理（ポアンカレの補題の特別な場合）をやりました．
● レポート問題を解くには「予習用のプリント
」が必要です．
第X回(2016/11/21) 筆記試験
● 座席指定あり．学生証をお持ちください．
● 平均点は(1)9.5/10 (2) 13.0/15 (3) 15.2/16，合計 37.1/41.0 でした．
第7回(2016/11/14) ベクトル場の面積分
● ベクトル場の面積分の定義とその意味についてじっくりと解説しました．
● パラメーターの取り替えについてはプリントで自習しておいてください．
第6回(2016/11/7) 関数（スカラー場の）面積分
● 滑らかな曲面とその接線の具体例として関数のグラフをやりました．
● 滑らかな曲面の面積を定義し，具体例としてグラフの面積を計算しました．
● 関数（スカラー場）の，滑らかな曲面上での面積分を定義し，
具体例をひとつ計算しました．
● レポート問題を解くには「予習用のプリント
」が必要です．
第5回(2016/10/31) 曲面のパラメーター表示
● 「滑らかな曲線」と「接線」（接線分）の定義を復習しました．
● そのアナロジーとして「滑らかな曲面」，「接平面」（接面分？）を定義しました．
● レポート問題を解くには「予習用のプリント
」が必要です．
第4回(2016/10/24) グリーンの定理
● 勾配ベクトル場の線積分の復習と具体例を計算したあと，
一般のベクトル場の線積分の定義と（「ハイキングの原理」がなりたたない）具体例を計算しました．
● 「グリーンの定理」を定式化し，
具体例として「ハイキングの原理」，「面積の公式」について解説しました．
● 今回もレポート問題を解くには「予習用のプリント
」が必要です．
第3回(2016/10/17) 勾配ベクトル場の線積分
● 命題2-2を復習したあと，実際の「ハイキング」について説明．
● 勾配ベクトル場の線積分を「ハイキング」に例えながら定義し，
線積分の値が端点のみに依存するという定理（「ハイキングの原理」）を証明しました．
● レポート問題を解くには「予習用のプリント
」が必要です．
第2回(2016/10/3) ベクトル値関数の微分と曲線
● 始めに全微分，勾配ベクトル，ヤコビ行列などの定義を確認．
● 曲線をJordan流に定義し，それから「（区分的に）滑らかな曲線」の定義をしました．
第1回(2016/9/26) ベクトルの内積・外積
● 講義の紹介をして，ベクトルの内積・外積と
その基本性質，
直線の方程式，平面の方程式について定義をのべました．
● 配布したプリントのレポート問題1-1に誤植がありました．
上のpdfは訂正済みですのでご参照ください．