Tomoki Kawahira
/ Department of Mathematics / Tokyo Insitiute of Technology
Tomoki Kawahira
/ Department of Mathematics / Tokyo Insitiute of Technology
ルベーグ積分を学びます．
（講義で配布したプリントをまとめたものはこちらです→
18S-real.pdf
）
第14回(2018/7/31) ラドン・ニコディムの定理の概説
● 加法的集合関数（符号つき測度）を測度の一般化として定義し，
そのハーン分解，ジョルダン分解について解説したあと，
ラドン・ニコディムの定理，ルベーグの分解定理について
証明無しで概説しました．
第13回(2018/7/24) フビニの定理（2）
● σ有限な完備測度空間の直積測度空間にたいし，フビニの定理を復習し，
その拡張としてトネリの定理，フビニ - トネリの定理の主張を述べました．
フビニの定理の証明のシメの部分だけやって，
その他の証明はレポートや午後の演習にまわしました．
第12回(2018/7/17) フビニの定理
● 完備測度空間の直積測度空間にたいし，直積測度の積分表示を証明をスケッチしました
（詳細はプリントを読んでください）．フビニの定理の主張を述べました．
証明は来週．
第11回(2018/7/10) 直積測度(2)
● 前回に続いて，直積測度の構成を1次元ルベーグ測度の構成方法に準じてやりました．等測包の定義と，直積測度の積分表示についてその主張を述べました．
証明の前半は演習内でやりました．
第10回(2018/7/3) 直積測度(1)
● 一般のσ加法族上の測度を定義しました．
ふたつの測度空間からその直積測度を作る前段階として，
可測長方形による被覆を用いた直積外測度の構成法を途中までやりました．
つづきはまた来週．
第9回(2018/6/19) 級数の項別積分・リーマン積分
● 先週やった収束定理を用いて関数項級数の項別積分定理を示しました．
これを用いて，具体的な関数の可積分性を確認しました．
● リーマン可積分なとき，ルベーグ可積分であり，値が一致することを示しました．
第8回(2018/6/12) 収束定理
● 積分の定義を復習したあと，
単調収束定理，ファトゥの補題，優収束定理を示しました．
第7回(2018/5/22) ルベーグ積分(2)
● 前回の積分の定義をひと通り確認したあと，
非負可測関数の積分の「線形性」をチェックしました．
● 演習問題を通して一般の可積分関数の線形性をチェックしました．
第6回(2018/5/15) ルベーグ積分
● 単関数を定義し，簡単にその性質を確認しました．
● 非負単関数のルベーグ積分を定義し，
さらに可測関数のルベーグ積分を定義しました．
第5回(2018/5/8) 可測関数(2)
● 可測関数の和，積や，可測関数列のsup, limsupが可測関数になることを示しました．
● 「ほとんどいたるところで等しい」ことの定義をやりました．次こそは積分します．
第4回(2018/5/1) 可測関数
● 区間が可測集合であることの証明に始まり，開集合・閉集合が可測であることの証明を済ませました．
可測関数を定義し，連続関数が可測関数であることを説明しました．
第3回(2018/4/24) 可測集合と可算加法族
● 可測集合の族が集合の演算（補集合，可算個の和集合）について閉じていることを確認しました．
また，可測集合に関するルベーグ（外）測度の可算加法性を確認しました．
第2回(2018/4/17) ルベーグ測度
● ルベーグ外測度を定義し，その可算劣加法性を確認しました．
● 可測集合とルベーグ測度を定義しました．
第1回(2018/4/10) リーマン積分 vs. ルベーグ積分
● リーマン積分の定義の復習と，ディリクレ関数や関数項級数の積分など，
リーマン積分と極限操作の相性があまり良くない例について解説しました．
また，ルベーグ積分のアイディアについて簡単に説明しました．