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複素関数論（2011年度前期・木３ / 理1-109 / 川平）　講義日誌

講義で配布したプリントをまとめたものはこちらです→ （ 11S-kansuron-all.pdf )

第13回(2011/7/21)　期末試験
●　試験範囲は第7～12回の分でした．
●　平均点は問１から順に22.8，22.7, 21.8, 21.7で， 合計点の平均は89/100と，とてもよく出来ていました．
●　成績の分布は90点台が32名， 80点台21名，70点台4名，それ未満が2名でした．
◎ 期末試験の返却はいたしません．

第12回(2011/7/14)　コーシーの積分定理 (2)
●　コーシーの積分定理の応用例として， いくつか（試験にでる類の）積分の計算方法を紹介しました．
●　グリーンの定理を証明し，これを用いてコーシーの定理を証明しました．

第11回(2011/7/7)　コーシーの積分定理
●　線積分の計算例を少しやったあとコーシーの積分定理を定式化しました．
●　諸定理の証明は来週に回します．

第10回(2011/6/30)　複素線積分
●　複素線積分を定義し，意味（仮想的な短冊の和，もしくは 細かくなっていく折れ線）を確認しました．
●　zのべき乗の単位円に関する積分を計算しました．

第9回(2011/6/23)　コーシー・リーマン方程式の応用
●　中間試験の返却・講評で20分以上かかってしまいました．
●　先週の続き．正則性の必要条件としてCRが出てくることの証明． これを「正則でない」関数を判定するのに応用．
●　次に正則性を与える十分条件を証明．最後に 応用として，指数関数と三角関数の微分を計算しました．

第8回(2011/6/16)　正則性とコーシー・リーマン方程式
●　微分の公式（ライプニッツ則など）を確認．
●　連続性の定義．微分可能であれば連続であることを証明．
●　正則性の定義．さらに，正則関数を2次元写像としてみた場合， ヤコビ行列が計算できて拡大と回転になること， さらに正則性の必要条件としてのコーシーリーマンの（微分）方程式が 現れることを確認しました． 十分条件がどのようになるのかは，次回に．

第7回(2011/6/9)　中間試験
●　第6回までの授業内容を試験範囲としました．
●　平均点は問１から順に16.0，15.7, 14.7, 12.4, 11.3で， 合計点の平均は70.1/100でした．
●　成績の分布は90点以上が8名， 以下10点刻みで17名，8名，7名（ここまで合格圏内）， 10名, 5名，2名，2名でした．

2011/6/2は名大祭のためお休みです．

第6回(2011/5/26)　複素関数の微分
●　複素関数の微分可能性を定義しました． 微分可能性が「局所的には（ほぼ）回転・拡大」である， ということを強調しました．
●　ついでに開集合・領域等の用語も定義しました．
●　Mathematicaで，zの２乗で与えられる関数が 「局所的には（ほぼ）回転・拡大」となってることを見る デモンストレーションをやりました．

第5回(2011/5/19)　対数関数
●　最初にquiz（小テスト）をやりました．解答・雑談もこみで40分も つかってしまいました．
●　複素数の対数関数と複素数の複素数べき乗を定義しました． 多価関数というのは，扱いづらく，教えづらいものです．

第4回(2011/5/12)　指数関数と三角関数
●　まず指数関数の定義・指数法則を復習． とくに，周期関数であることを新たに注意しておきました．
●　その周期性を念頭におきつつ，1のN乗根について解説．
●　つぎに指数関数が写像として平面を平面へ どのように写すかを説明． Mathematicaを使って，動的デモンストレーション．
●　最後の15分で三角関数とその基本公式を確認． サインのゼロ点が実の場合と変わらないことを足早に確認して おわりました．
●　今日は教務主催のアンケートも実施しました． ばたばたしていて，プリントを配るのを忘れていました． 明日までに準備しておきます．
★　 レポート問題3-1に重大な間違いがあったので， しらっと直しておきました．（上のファイル参照．）

第3回(2011/4/28)　指数関数とオイラーの公式
●　授業のはじめに，Mathematicaを使って級数を折れ線で表現するデモンストレーションをやりました．
●　今回は指数関数を級数で定義し，それが実際に収束すること を証明するのが目標でした． 多くの教科書ではオイラーの公式を定義として採用し 複素数の指数関数を定義していますが， これでは公式の面白さが半減してしまいます． 数理学科の授業なので，もうちょっと深い理解を目指そう， というわけです．
●　三角不等式に始まり，コーシー列，級数の絶対収束など重要事項を手短に解説したあと，一気に証明しました．ただし，実数の場合指数関数を定義する級数が収束する， という結果は既知としました． （基本的に実微分積分の結果は認める，というスタンスです．）
●　最後に，指数法則を証明しました． 応用として，極形式を指数関数で簡単に表示し， ド・モアブルの公式をさらりと導きました．
●　授業の残り時間（5分くらい）で，本当は先週やるつもりでできなかった， 簡易アンケートを実施しました． 板書が見づらくないか，講義が難しすぎないか， をチェックするためのものです． おおむねポジティブな回答を頂いてますが， ネガティブな回答も２～４％あるので反映させたいと思います．

第2回(2011/4/21)　複素数列・級数・オイラーの公式
●　複素数の和・積を図示，ド・モアブルの公式をやって40分ほど．
●　複素数列の収束をイプシロン・デルタ式に定義．
●　複素級数の収束を定義．「折れ線」を使って収束性を直感的に議論．
●　特殊な場合としてオイラーの公式を導きました． 「指数関数を定義する級数が収束する」ことを幾何学的に説明して終了．

第1回(2011/4/14)　複素数と複素平面
●　シラバスを配布して自分とTA・若狭くんの紹介をしたあと， さっそく複素数の定義からスタート． 数理学科なので，それなりにきっちりと（ハミルトン風に）定義しました．
●　実部・虚部・共役複素数の定義，複素平面を定義し， 絶対値・偏角・極表示までいったところで終了．
●　本来はド・モアブルの公式まで行きたかったのですが， 来週に持ち越しです．

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