Tomoki Kawahira
/ Graduate School of Economics / Hitotsubashi University
Tomoki Kawahira
/ Graduate School of Economics / Hitotsubashi University
1変数微分積分学の基礎を学びます．
（講義で配布したプリントをまとめたものはこちらです→
12S-biseki.pdf
）
第14回(2012/07/30) 期末試験
● 中間試験未受験者は受験不可です．
● 当日は座席指定あり．学生証を忘れないように．
第13回(2012/07/23) 広義積分
● 広義積分の定義と具体例をいくつかやりました．
● 後半は優関数を用いた収束の判定法と，ガンマ関数について解説しました．
第12回(2012/07/09) 定積分の応用
● 有理関数の原始関数は必ず書き下せることを説明しました．
さらにある種の無理関数・三角関数の有理式についても原始関数が計算できることを確認しました．
● 曲線の長さを積分で表す公式を導きました．
その応用として「円周率」の定義を確認しました．
第11回(2012/07/02) 定積分と不定積分
● 定積分の定義を簡単に確認し，不定積分・原始関数との関係を微積分の基本定理を通して説明しました．
● 具体的な計算テクニックとして，置換積分と部分積分をやりました．
以上はすべて高校の復習ですが，
扱う関数はできるだけ逆三角関数など目新しいものにしました．
第10回(2012/06/25) テイラー展開の応用
● Mathematicaをもちいて，テイラー展開による関数の近似をデモンストレーションしました．
● テイラー展開を用いて e の近似と誤差の評価について説明しました．
また，ランダウ記号を導入し，漸近展開について解説しました．
応用として，関数の極限を求めました．
第9回(2012/06/18) テイラー展開
● ロピタルの証明はプリントですませて，さっさと高次導関数とテイラーの定理に入りました．
● 指数関数と3次関数のテイラー展開をやりました．
第8回(2012/06/11) 平均値の定理
● ロルの定理を中心に，平均値の定理とその応用（「微分係数が正なら増加」の証明）をやりました．
● ロピタルの定理と，その応用として極限の計算をしました．
定理の証明の前に，コーシーの平均値定理を説明したところで時間終了．
つづきは来週やります．
第7回(2012/06/04) 中間試験
● 単位が必要な人は必ず受験するようにしてください．
● 当日は座席指定あり．学生証を持参してください．
第6回(2012/05/28) 微分の計算
● まず微分可能性・導関数の定義を確認しました．
Mathematicaでサイン sin のグラフを「顕微鏡｣で拡大するデモンストレーション．sin 47°を接線の方程式で近似計算．
● 微分のライプニッツ・ルール，チェイン・ルールなどを確認．逆関数の微分，対数微分を例を交えて確認．（この辺は逆三角関数以外，高校の復習ですね．）
第5回(2012/05/21) 中間値の定理・微分可能性
● 今日は朝から金環日食でした．
前回から，連続関数の話の続きです．
今回は連続関数の重要な性質として，
「中間値の定理」と「（閉区間上での）最大・最小値の存在」をやりました．
とくに「中間値の定理」は，
方程式の数値解法である「二分法」（もしくは「区間縮小法」）のアルゴリズムとして定式化しました．
● 微分の原理的な部分（差分の比例関数として増分を近似）を解説し，
微分可能性と微分係数の定義をやりました．
● 今回配布したプリントはレポート問題の番号付けを間違って3-1, 3-2，...
としてしまいました．正しくは 4-1, 4-2, ... です．
上のファイルでは訂正してあります．
● 中間試験対策として自宅模擬テストを配布しました．回収は来週です．
第5回(2012/05/14) 関数の極限と連続性
● まずレポート提出についてのコメントとアンケートの結果への回答で15分ぐらい．
● 関数の極限と連続性について定義および具体例の確認をしました．
とくに，連続関数の四則，合成，逆関数を組み合わせて得られる関数は
すべて（定義可能な範囲で）連続関数であることを述べました．
第3回(2012/05/07) 指数・対数・逆三角関数
● 前回やった指数関数の定義の復習と，
補足として指数法則をやりました．
● 区間・関数の定義域と値域・（真に）単調増加・逆関数の
四つの言葉を定義し，さらに具体例として対数と逆三角関数を定義しました．
● 授業改善アンケートを実施しました．
第2回(2012/04/23) 級数の収束と指数関数の定義
● 前回の証明のつづき（eへの収束列）．レポート問題1-2のヒント．
（ここまでで約30分．）
● 級数の定義をやったあと，その収束・絶対収束を定義．
絶対収束の幾何学的意味を説明したあと，
「定理：絶対収束する級数は収束する」を解説．
応用として級数を用いた指数関数の定義（その収束性の証明）
をやりました．
第1回(2012/04/16) 数列の収束と実数の連続性の公理
● この授業では，現代における微分積分学の目標は，「与えられた関数にたいし，１．その値（グラフ），２．零点の値，３．定積分値を，任意の精度で求めること」としましょう．今後はこの目標を意識しながら授業を進めていきます．
● 数列の収束など，定義を確認．実数の連続性の公理（数列が単調増加＋上に有界⇒収束）を定式化．
● 応用として自然対数の底が e: = lim (1 + 1/n)^n として定義できることを説明しました．（証明の途中で時間終了，つづきは次回）．
ちなみにこの数は「ネピアの数」(Napier's constant)とよばれますが，
ティッシュペーパーのネピア（Nepia）とはつづりが違うようです．