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微分積分学 II(2014年度後期・木3 / 川平)

多変数微分積分学の基礎を学びます.
(講義で配布したプリントをまとめたものはこちらです→ 14W-biseki.pdf

第14回(2014/1/29) 期末試験
● 座席指定あり.学生証を持参してください.

第13回(2014/1/22) 線積分とグリーンの定理
● 「ハイキングの原理」と題して勾配ベクトル場の線積分の性質を証明.
● 一般のベクトル場の線積分を定義し,グリーンの定理と面積の線積分による公式を証明なしで紹介しました.
● 教養教育院による講義アンケートを実施しました.

第12回(2014/1/15) 曲面積
● 3次元グラフの曲面積を定義し,その定義を正当化.
● さらに具体例として,球面の面積,円柱が球面を切り取って できる部分の面積を計算しました.

第11回(2014/12/18) 変数変換
● まず変数変換の公式と適用条件について解説しました.
● つぎに変数変換の具体例として1次変換と極座標変換を解説.
● 応用としてガウス積分の計算しました.

第10回(2014/12/4) 累次積分の順序交換
● 縦線(横線)領域上の連続関数が積分可能であり, 累次積分で書ける,という定理(証明略)とその例をやりました.
● 累次積分の順序交換について具体例をやりました.
● 次回に向けて,2変数関数の変数変換公式を紹介しました.

第9回(2014/11/27) 重積分
● 重積分が出てくる例として「体積」「質量」「土地代」を挙げました.
● 重積分の定義.応用(?)として面積(確定)の定義と重積分の性質(積分可能となる十分条件,線形性など)をやりました.
● タテ線領域,ヨコ線領域と累次積分を簡単に説明しました.

第8回(2014/11/20) 極大・極小と判別式
● 前回やったテイラー展開の証明のつづき(アウトラインのみ.詳細はプリント).
● 2変数関数の極大・極小を定義.判別式による判定法の原理をテイラー展開の2次の項で解説.
● 極大・極小の判定の具体例をやりました.

第7回(2014/11/13) テイラー展開
● 出題ミスがあったのでこの日のレポート提出者には全員満点をあげることにします. ご迷惑おかけしました.
● 高次の導関数を定義し,C^n級関数などを定義. 偏微分の順序が交換できる,という「ヤングの定理」を証明なしで紹介 (プリントには証明あり).
● 2次のテイラー(漸近)展開の例と証明を途中までやりました.

第6回(2014/11/6) 変数変換とヤコビアン
● 変数変換の基本的な例として極座標変換と1次変換を解説.
● 変数変換の「微分」としてヤコビ行列を解説.
● 最後に合成関数 z =F(u,v):= f(x(u,v),y(u,v)) の偏微分の公式を求めました.
● じつはこのとき配ったレポート問題に重大なミスがありました.ご迷惑おかけしました. 上のファイルでは訂正されています.

第5回(2014/10/30) 合成関数と変数変換
● 前回終わりがけに説明した C^1級関数の話を復習.
● 1変数の合成関数 z = g(f(x)) の微分の意味を復習したあと, z = f(x(t),y(t)) の形の関数の微分が勾配ベクトルと 速度ベクトルの内積として計算できることを説明.
具体例.
● 最後に「変数変換」の例をいくつかやりました. 授業アンケートを提出してもらいました.

第4回(2014/10/23) 偏微分
● 全微分の定義を復習したあと, 接平面の方程式の係数A と B の意味を解説. Mathematicaで3次元グラフの接平面の様子を見せました.
● それが偏微分として計算できることを確認し, 偏微分係数,偏導関数を定義.ついで計算練習.
● 最後に「全微分可能 ⇒ 偏微分可能」であること, 「偏微分可能+α ⇒ 全微分可能」であることを解説しました.

第3回(2014/10/16) 全微分と接平面
● 1変数関数の微分可能性の定義をベースに, 2変数関数の全微分可能性を定義しました.
● つぎに,接平面を定義.
● 最後に勾配ベクトルとその意味を解説しました.

第2回(2014/10/9) 多変数の極限と連続性
● 前回の補足として一般の z = Ax + By + C について等高線グラフと3次元グラフを説明.
● 1変数の「区間」にあたるものとして2変数の「円板」と「区画」を定義. さらに関数の定義域と値域を定義.
● 関数の極限とその具体例をやりました.関数の連続性を定義し具体例を幾つか与えました.

第1回(2014/10/2) 多変数の1次関数
● この講義の概要を説明したあと,多変数関数の例とその3次元グラフ・等高線グラフを Mathematicaで解説しました.
● 「微分可能性=1次関数による近似可能性」というテーマを標語的に掲げて, 1次関数をまず理解しよう,と動機づけ.
● 平面ベクトルの内積の性質を復習したあと, z = Ax + By の等高線がベクトル (A, B) と垂直な直線群になることを解説. このことからこの関数の3次元グラフが平面になることを確認. 最後に,その平面の xz平面,yz平面での切り口がそれぞれ傾き A, 傾き B の直線であることを解説しました.

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