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微分積分学 II（2014年度後期・木3 / 川平）

多変数微分積分学の基礎を学びます．
（講義で配布したプリントをまとめたものはこちらです→ 14W-biseki.pdf ）

第14回(2014/1/29)　期末試験
●　座席指定あり．学生証を持参してください．

第13回(2014/1/22)　線積分とグリーンの定理
●　「ハイキングの原理」と題して勾配ベクトル場の線積分の性質を証明．
●　一般のベクトル場の線積分を定義し，グリーンの定理と面積の線積分による公式を証明なしで紹介しました．
●　教養教育院による講義アンケートを実施しました．

第12回(2014/1/15)　曲面積
●　3次元グラフの曲面積を定義し，その定義を正当化．
●　さらに具体例として，球面の面積，円柱が球面を切り取って できる部分の面積を計算しました．

第11回(2014/12/18)　変数変換
●　まず変数変換の公式と適用条件について解説しました．
●　つぎに変数変換の具体例として1次変換と極座標変換を解説．
●　応用としてガウス積分の計算しました．

第10回(2014/12/4)　累次積分の順序交換
●　縦線（横線）領域上の連続関数が積分可能であり， 累次積分で書ける，という定理（証明略）とその例をやりました．
●　累次積分の順序交換について具体例をやりました．
●　次回に向けて，2変数関数の変数変換公式を紹介しました．

第9回(2014/11/27)　重積分
●　重積分が出てくる例として「体積」「質量」「土地代」を挙げました．
●　重積分の定義．応用（？）として面積（確定）の定義と重積分の性質（積分可能となる十分条件，線形性など）をやりました．
●　タテ線領域，ヨコ線領域と累次積分を簡単に説明しました．

第8回(2014/11/20)　極大・極小と判別式
●　前回やったテイラー展開の証明のつづき（アウトラインのみ．詳細はプリント）．
●　2変数関数の極大・極小を定義．判別式による判定法の原理をテイラー展開の2次の項で解説．
●　極大・極小の判定の具体例をやりました．

第7回(2014/11/13)　テイラー展開
●　出題ミスがあったのでこの日のレポート提出者には全員満点をあげることにします． ご迷惑おかけしました．
●　高次の導関数を定義し，C^n級関数などを定義． 偏微分の順序が交換できる，という「ヤングの定理」を証明なしで紹介 （プリントには証明あり）．
●　2次のテイラー（漸近）展開の例と証明を途中までやりました．

第6回(2014/11/6)　変数変換とヤコビアン
●　変数変換の基本的な例として極座標変換と1次変換を解説．
●　変数変換の「微分」としてヤコビ行列を解説．
●　最後に合成関数 z =F(u,v):= f(x(u,v),y(u,v)) の偏微分の公式を求めました．
●　じつはこのとき配ったレポート問題に重大なミスがありました．ご迷惑おかけしました． 上のファイルでは訂正されています．

第5回(2014/10/30)　合成関数と変数変換
●　前回終わりがけに説明した C^1級関数の話を復習．
●　1変数の合成関数 z = g(f(x)) の微分の意味を復習したあと， z = f(x(t),y(t)) の形の関数の微分が勾配ベクトルと 速度ベクトルの内積として計算できることを説明．
具体例．
●　最後に「変数変換」の例をいくつかやりました． 授業アンケートを提出してもらいました．

第4回(2014/10/23)　偏微分
●　全微分の定義を復習したあと， 接平面の方程式の係数A と B の意味を解説． Mathematicaで3次元グラフの接平面の様子を見せました．
●　それが偏微分として計算できることを確認し， 偏微分係数，偏導関数を定義．ついで計算練習．
●　最後に「全微分可能 ⇒ 偏微分可能」であること， 「偏微分可能＋α ⇒ 全微分可能」であることを解説しました．

第3回(2014/10/16)　全微分と接平面
●　1変数関数の微分可能性の定義をベースに， 2変数関数の全微分可能性を定義しました．
●　つぎに，接平面を定義．
●　最後に勾配ベクトルとその意味を解説しました．

第2回(2014/10/9)　多変数の極限と連続性
●　前回の補足として一般の z = Ax + By + C について等高線グラフと3次元グラフを説明．
●　1変数の「区間」にあたるものとして2変数の「円板」と「区画」を定義． さらに関数の定義域と値域を定義．
●　関数の極限とその具体例をやりました．関数の連続性を定義し具体例を幾つか与えました．

第1回(2014/10/2)　多変数の1次関数
●　この講義の概要を説明したあと，多変数関数の例とその3次元グラフ・等高線グラフを Mathematicaで解説しました．
●　「微分可能性＝1次関数による近似可能性」というテーマを標語的に掲げて， 1次関数をまず理解しよう，と動機づけ．
●　平面ベクトルの内積の性質を復習したあと， z = Ax + By の等高線がベクトル (A, B) と垂直な直線群になることを解説． このことからこの関数の3次元グラフが平面になることを確認． 最後に，その平面の xz平面，yz平面での切り口がそれぞれ傾き A， 傾き B の直線であることを解説しました．

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