Tomoki Kawahira
/ Department of Mathematics / Tokyo Insitiute of Technology
Tomoki Kawahira
/ Department of Mathematics / Tokyo Insitiute of Technology
解析学（1変数・多変数の微分積分学）の基礎を学びます．
（講義で配布したプリントをまとめたものはこちらです→
15S-kaiseki.pdf
）
第15回(2015/7/31, 13:15-, H112) 補講：逆関数定理
● ベクトル値関数と微分（ヤコビ行列）を定義し，
逆関数定理の証明のアイディア（ニュートン法の亜種）
を1変数の場合で解説しました．
期末試験(2015/7/31, 10:45-, H112) いつもと教室が違いますのでご注意ください．
第14回(2015/7/24) 高階偏導関数と変数変換
● 高階導関数とC^N級関数を定義したあと，ヘッセ行列を導入し
1次関数＋2次形式の形で2次のテイラー展開を表現しました．
● 合成関数の微分公式を「勾配ベクトルと速度ベクトルの内積」
という形で定式化し，具体例を計算しました．
第13回(2015/7/17) 偏微分
● 前回の復習として（全）微分可能性の定義と具体例を確認したあと，
方向微分を定義しました．また，微分可能であれば方向微分係数が
どんな速度ベクトルに対しても定まることを証明しました．
● 方向微分の特別な場合として，偏微分を定式化しました．
さらに，微分可能であれば偏微分も可能であることを証明しました．
第12回(2015/7/10) 多変数関数の微分
● 高次元ユークリッド空間の開集合・閉集合・コンパクト集合を定義しました．
● 関数の極限と連続性を定義し，コンパクト集合上の連続関数が最大値・最小値をとるという定理を証明なしで述べました．
● 関数の（全）微分可能性を定義しました．
第11回(2015/7/3) ユークリッド空間
● 高次元ユークリッド空間（数空間）の内積，ノルム，点列の収束性などについて基本的な性質を確認しました．
● 1次関数の等高線にあたるものを内積が一定になる集合として定式化しました．
第10回(2015/6/26) 一様収束性
● 関数列の各点収束と一様収束を定義し，具体例と，
連続性，微分可能性が保存されるか（遺伝するか），
積分の値が収束するかについてみていきました．
● 一様収束であれば連続性のみ保存されること，
積分の値が収束することを証明しました．
● 最後に，関数の級数の収束性を定義しました．
第9回(2015/6/19) テイラー展開
● 高階導関数とC^n級関数を定義しました．
● テイラー展開の証明と漸近展開について説明しました．
● 2階導関数と関数の凸性の関係について説明しました．
第8回(2015/6/12) 微分可能性
● 微分可能性をランダウの記号を用いて「1次関数による近似可能性」として定義し，
具体例を計算しました．
とくに，ライプニッツの公式をこの定義に基づいて導きました．
● ロルの定理と平均値の定理を証明しました．
第7回(2015/6/5) 一様連続性
● 前回の「閉区間上の連続関数は最大値・最小値をとる」ことを証明しました．
● 一様連続性の定義とその直感的な説明（「速度制限」）をしたあと，
「一様連続でない」例を解説．
● 「閉区間上の連続関数は一様連続」であることの証明をやりました．
● 今回配布したプリントは公式・定理・命題の番号が7-xの形になっていますが，
6回目の講義ノートですので6-xの形が正しいものです．
上のpdfファイルでは修正してあります．
第6回(2015/5/29) 関数の極限・連続性
● 関数の極限（左右の極限）と連続性をε論法で定義しました．
● 中間値の定理の証明を二分法のアイディアで証明しました．
● 「閉区間上の連続関数は最大値・最小値をとる」ことの説明のみやりました．
証明は次回に．．
第5回(2015/5/22) ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理
● 「有界な無限集合は集積点を持つ」（ワイエルシュトラスの定理）
と「有界点列は収束する部分列をもつ」（ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理）
を証明しました．また，部分列を用いて数列の上極限と下極限を定式化しました．
● 「関数」「定義域」「値域」の定義と，関数の写像としての定式化をやりました．
丁寧に数学をやっていると，なかなか進みませんね．
（講義でこれだけ時間がかかるのだから，
独学で本を読み進めるのはもっと時間がかかります．）
第--回(2015/5/15) 休講（ホームカミングデー）
●
第--回(2015/5/8) 休講（演習はあり）
●
第4回(2015/5/1) 区間縮小法
● プリントの訂正のあと，コーシー列の定義等の復習．
「区間縮小法」を定理として証明し，「コーシー列なら収束」を示しました．
● 上極限・下極限の定義をしました．
第3回(2015/4/24) 数列の極限・コーシー列
● 「数列の収束」をε-N式に定義．
「和の極限は極限の和」などの公式を証明しました．
● 「有界単調列は収束する」ことを証明しました．
● 「コーシー列」を定義し，「収束列⇔コーシー列」
であることの矢印の簡単なほうだけ証明しました．
第2回(2015/4/17) 実数の連続性・上限と下限
● 軽く前回の復習をしたあと，
「実数の連続性」を定理として証明しました．
次に切断による実数の和の定義，
上界・下界，上限・下限の定義をしました．
有界集合には上限・下限が存在するというワイエルシュトラスの定理を証明．
● 最後に数列の収束をどう定義するべきかを大雑把に解説しました．
第1回(2015/4/10) 実数の構成
● 講義の概要を説明したあと，「デデキントの切断」を用いて，
有理数の集合から実数を具体的に定義し，
任意の二つの実数の間には大小関係が入るところまで
やりました．（実数の連続性まではいきませんでした．）