Tomoki Kawahira
/ Department of Mathematics / Tokyo Insitiute of Technology
Tomoki Kawahira
/ Department of Mathematics / Tokyo Insitiute of Technology
ベルトラミ方程式と擬等角写像，複素力学系理論への応用を学びます．
（講義で配布したプリントをまとめたものはこちらです→
16S-tokuron.pdf
）
第13回(2016/7/19) 擬等角写像の応用
● 擬等角写像を合成したときのベルトラミ微分の公式を確認したあと，
擬正則写像の定義，
それが有理関数と共役になるための十分条件を証明しました．
● 応用として，Koenigsの線形化定理を擬等角写像を用いて証明しました．
第13回(2016/7/12) Fatou-Shishikuraの不等式
● Fatou集合の基本的な性質についてまとめたあと，
Sullivanのno wandering domain theorem，
Fatou成分の分類定理を述べました．
● Fatou成分の個数，非反発的周期系の個数に関する
Fatou-Shishikuraの不等式について述べました．
● パソコンを使って2次多項式のattracting, parabolic な Fatou成分，
Siegel diskの絵を見せました．
● プリントを作っていたのですが配布するのを忘れてしまいました．
次回レポート問題と一緒にお配りします．
第12回(2016/7/5) Fatou集合とJulia集合 2
● 周期点の分類（attracting, repelling, indifferent, etc. ）を復習したあと，これらがいつFatou集合に入るかについての分類とその証明のスケッチをしました．
● Julia集合の基本的な性質についてまとめました．
第11回(2016/6/27) Fatou集合とJulia集合
● 複素力学系の安定部分・不安定部分としてFatou集合と
Julia集合を正規族の概念を用いて定義しました．
● 周期点の分類（attracting, repelling, indifferent, etc. ）について説明しました．
第10回(2016/6/21) 複素力学系
● 複素力学系の基本的な概念を述べて，
パソコンで2次多項式が生成する力学系の様子を説明しました．
第9回(2016/6/14) 有理関数
● 複素係数有理式が定める有理関数の，
リーマン球面から自身への写像としての性質について解説しました．
(2016/6/10 レポート課題提出締め切り [厳守])
第8回(2016/6/7) ベルトラミ方程式の解のパラメーターへの依存性 (4)
● 前回見つけた解が擬等角写像であることの証明の概要を述べて，
Beltrami係数の台がコンパクトという条件を外した場合の解の存在定理を示しました．
● Beltrami係数が複素パラメーターに関して解析的に変化するとき，
標準解も同様に解析的に変化することを結果だけ述べました．
(2016/5/31 は休講です)
第7回(2016/5/24) ベルトラミ方程式の解法 (3)
● Beltrami係数の台がコンパクトかつノルムが1未満の場合に
解が存在することを証明しました．
第6回(2016/5/17) ベルトラミ方程式の解法 (2)
● Calderon-Zygmundの定理を認めて，
T作用素がL^pで定義できることを確認しました．
● Beltrami係数の台がコンパクトかつノルムが1未満の場合に
ベルトラミ方程式が解を持つ，という定理の証明をはじめました．
とりあえず一意性まで証明が終わりました．
● 第4回目までの講義ノートを配布しました．
また，レポート課題を配布しました．
第5回(2016/5/10) ベルトラミ方程式の解法
● 「2乗可積分な超関数の意味での偏導関数」を用いて
擬等角写像を定式化しました．
● さらにベルトラミ係数のノルムが1未満のとき，
ベルトラミ方程式が擬等角写像の解をもつ，
というAhlfors-Bers-Morreyの定理を述べました．
● Ahlforsの本に従ってひとまずP作用素とT作用素を定義しました．
第4回(2016/4/26) 擬等角写像(2)
● 前回定義した用語を用いて擬等角写像の解析的な定義とその基本性質を解説しました．
第3回(2016/4/19) 擬等角写像
● 擬等角写像を定義するまえの準備として，絶対連続性，ACL，
L^\inftyノルムについて解説しました．
第2回(2016/4/12) Beltrami方程式とBeltrami係数
● 等温座標の存在をBeltrami方程式の解が存在することに帰着させました．
● Beltrami係数の幾何学的な意味（無限小円を無限小楕円に写す）を説明しました．
時間をオーバーしてしまってすみません．
● ノートをTeXうちしてくれる人（バイト）募集中です．
第1回(2016/4/5) 曲面と等温座標
● 3次元ユークリッド空間内の向きづけ可能で滑らかな曲面に複素構造が入るか
（リーマン面とみなせるか）という問題に対し，等温座標を用いたアプローチで
肯定的に解けることを説明しました．