Tomoki Kawahira
/ Department of Mathematics / Tokyo Insitiute of Technology
Tomoki Kawahira
/ Department of Mathematics / Tokyo Insitiute of Technology
解析学（1変数・多変数の微分積分学）の基礎を学びます．
（講義で配布したプリントをまとめたものはこちらです→
17S-kaiseki.pdf
）
（上のpdfで訂正されている主な誤植一覧→
17S-kaiseki-typo.pdf
）
第15回 (2017/7/31) ベクトル値関数
● まずは種々のアンケートに記入する時間をとりました．
● ベクトル値関数のJacobi行列を定義し，連鎖律，逆関数定理について解説しました．
第14回 (2017/7/24) 合成関数の微分と平均値の定理
● 合成関数の微分とその具体例，証明のスケッチをやりました．
● 平均値の定理とその応用について簡単に述べました．
第13回 (2017/7/17) 方向微分と偏微分
● 全微分可能性の復習と具体例をやったあと，
方向微分とその具体例，偏微分の定義をやりました．
第12回(2017/7/3) 多変数関数の微分
● 開集合・閉集合・コンパクト集合・領域といった基本用語を解説したあと，
極限，連続性，全微分可能性の定義をやりました．
第11回(2017/6/26) ユークリッド空間
● 高次元の空間として最も基本的なユークリッド空間を定義し，
内積や長さ，ユークリッド距離に関する基本性質を確認しました．
また，1次関数を内積をもちいて定式化しました．
第10回(2017/6/19) 一様収束
● 各点収束を定義し，その（あまりよくない）性質を確認したあと，
一様収束を定義，こちらは連続性や積分の値についてよい性質をもつことを確認しました．
今回は具体例をいろいろ見ながら，関数の列に親しむことをテーマにしました．
第9回(2017/6/12) 微分可能性とテイラー展開
● 微分可能性の定義を商を用いない形で書き換え，その例などをやりました．
平均値の定理，高階導関数などを確認したあと，テイラー展開の式と意味を確認しました．
第8回(2017/5/29) 定積分
● 一様連続性の定義の復習をしたあと，リーマン和，積分可能性，定積分の定義をやりました．
また，積分可能となる判定条件・十分条件・連続関数の例をやりました．
● 講義ノート・レポートの点数入力が間に合わなかったので次回お渡しします．
第7回(2017/5/22) 一様連続性
● 中間値の定理と二分法，最大値と最小値の存在定理をやりました．
● 連続性と一様連続性の違いを「チベット式速度制限」の話として解説しました．
第6回(2017/5/15) 関数の極限と連続性
● 前回の復習として有理数全体の集合が数列で表現できることをやりました．
また，上極限・下極限の定義を有界でない場合もこめて再確認し，具体例をやりました．この時点で30分使ってしまいました．
● 関数の極限の定義と関数の連続性の定義をやりました．
● 中間値の定理・最大値と最小値の存在定理はできなかったので来週．．
第5回(2017/5/8) ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理
● 集積点の定義と「有界な無限集合は集積点をもつ」というワイエルシュトラスの定理をやりました．
● 部分列の定義と「有界な数列は収束する部分列をもつ」というボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理をやりました．
● 有界な数列の上極限と下極限を定義しました．
第4回(2017/5/1) 単調列・コーシー数列・区間縮小法
● 「極限がわからない状態で数列の収束が示せるか」という問題意識のもので，
「有界単調な列は収束する」「コーシー列⇔収束列」を示しました．
● 今回も「次回の予習」を含むレポート問題を出します．
第3回(2017/4/24) 数列の収束
● 誤差と近似のアイディアをもとに，数列の収束性を厳密に定義しました．
● 今回から「次回の予習」を含むレポート問題を出します．
第2回(2017/4/17) 実数の連続性・上限と下限
● 有理数の切断を復習した後，実数の和の定義と積の定義を与えました．
● 実数の切断を定義し，切断では新しい数がこれ以上作れないことを確認しました．
● 上限と下限の定義とその存在を保証するワイエルシュトラスの定理を紹介しました．（証明はだいたいプリント参照．）
第1回(2017/4/10) 実数の構成
● 15分ほどで講義について説明したあと，
切断による実数の構成と大小関係の定義について解説しました．