Tomoki Kawahira
/ Graduate School of Economics / Hitotsubashi University
Tomoki Kawahira
/ Graduate School of Economics / Hitotsubashi University
2変数微分積分学の基礎を学びます．
（講義で配布したプリントをまとめたものはこちらです→
12W-biseki.pdf
）
第14回(2012/1/31) 期末試験
● 試験範囲は第8回から第12回までです．
● 当日は座席指定あり．学生証を忘れずに！
● 無事終了しましたが，
講義で配布した手書き略解プリントには間違いが！
期末試験の修正済み解答例はこちら：
→
12W-biseki-fin-a.pdf
● 平均点は71.9点でした．
第13回(2012/1/24) ベクトル場と線積分
● 平面内のベクトル場を定義し，
与えられたC^1関数の勾配ベクトル場の線積分が経路によらないことを直感的に説明しました．
● 一般のC^1ベクトル場の線積分を定義しました．
具体例と計算方法を説明した後，
グリーンの定理の主張と意味を簡単に説明しました．
（証明などはプリントでやりました．）
第12回(2012/1/17) 曲面積
● まずC^1級関数のグラフにたいして曲面積の定義を与え，
その積分による公式（とその意味の説明）を紹介しました．
具体例として球面の面積，
円柱が切り取る球面の一部分の面積を計算しました．
● Mathematicaで円柱 ∩ 円柱，球面 ∩ 円柱 の絵を見せました．
（あの教室のプロジェクタにつなぐと，
いつもMathematicaが固まりがちで調子が悪いんですがなぜでしょう．．）
第11回(2012/12/20) 変数変換
● 遅くなりましたが中間試験を採点し返却しました．
平均点は83.1点でした．簡単すぎましたかね．
期末はもう少し点差がつくように問題作りをしようと思います．
● 変数変換の公式を復習したあと，
極座標変換の例とガウス積分への応用をやりました．
● 空間の極座標表示とその変数変換を用いて，
球の体積の公式を求めました．
またおまけとして，
直交するふたつの円柱が交わる部分の体積を計算しました．
第10回(2012/12/6) 積分順序の交換・変数変換
● 「タテ線領域としてはできない積分が，
ヨコ線領域としては計算できる」という例（積分順序の交換がうまくいく例）
をやりました．
● つぎに重積分の変数変換の公式について説明しました．
ヤコビアンの絶対値が面積の拡大率として現れる，
という部分を（直感的に）説明したあと，
具体例をひとつだけやりました．
第9回(2012/11/29) 重積分
● 最初にプリントをつかって極値判定法とラグランジュの未定乗数法を簡単に説明しました．
● つぎに重積分の「意義」とその定義，
タテ線領域の場合は累次積分で計算できることを説明（証明は略）．
具体例をひとつだけやりました．
第8回(2012/11/22) 2変数のテイラー展開
● C^n級関数の復習から初めて，テイラー展開の主張と具体例を紹介．
そのあと証明をしました．
● 最後の5分間で，平面上の点と直線の距離の公式が2変数関数の勾配ベクトルを用いて理解できることを説明しました．
本当は極値判定法について解説するつもりでしたが，
時間が足りなくなったので次回に．
第7回(2012/11/15) 中間試験
● 当日は座席指定あり．学生証を忘れずに！
●
第6回(2012/11/8) 2次導関数と極値の判定
● 高次偏導関数を定義して，C^1ならば偏導関数の順序によらないことを解説しました．（なぜか教科書には証明がない．）
● 1変数関数のアナロジーで，
2次導関数と判別式を用いた極値の判定方法と具体例を紹介しました．
その解説（証明のアイディア）は中間試験後に．
第5回(2012/11/1) 変数変換とヤコビ行列
● 前回のつづきで，
具体例について曲線のパラメーター表示と2変数関数の合成関数の微分を計算しました．
● 変数変換が局所的に線形変換で表現されることを解説し，
ヤコビ行列を定義しました．
さらに，変数変換による偏微分公式を説明して，
極座標変換について具体例を計算しました．
第4回(2012/10/25) 全微分
● 実は接平面とは何か定義せずにごまかしてきたので，
これを全微分可能性によってちゃんと定義しました．
また，偏導関数が連続であれば，全微分可能である，
という定理を述べました．（証明はプリントで）．
また，関数がC^1級であることの定義をしました．
● 等高線グラフと勾配ベクトルについて解説しました．
それを用いて，
曲線のパラメーター表示と2変数関数の合成関数の微分公式
（教科書86ページ）の意味を説明しました．（証明は教科書参照．）
第3回(2012/10/18) 接平面と偏微分
● 接平面の基本形を復習したあと，
与えられた2変数関数のグラフ接平面の方程式を求めるには，
偏微分（偏導関数）の概念が必要であることを図やMathematicaで説明しました．
● 接平面が存在する十分条件として偏導関数の連続性などを与えました．
これを再度，全微分可能性として定式化したかったのですがそこまで終わりませんでした．
第2回(2012/10/11) 関数の連続性・平面の方程式
● 2変数関数の極限について，前回の続き．
極限を持つ例と持たない例を解説し，Mathematicaで絵を見せました．
また，関数が連続性を定義し，連続な例と連続でない例をそれぞれ紹介しました．
● 2変数関数の微分を考えるにあたって，
1変数関数の接線の方程式（1次近似）の自然な拡張として接平面の方程式を考える，
というアイディアを紹介しました．また，平面の方程式を復習（線形代数の？）しました．
● 配布したプリントのレポート問題1-2
「教科書p.84．問題4.1の2を解け．」の間違いです．
上のファイルでは訂正済してあります．
第1回(2012/10/04) 多変数関数の極限
● シラバスを配布し，講義全体の説明を簡単にしたあと，すぐに n次元ユークリッド空間，開・閉集合（領域）の定義に入りました．
● 多変数関数の例と極限の定義をしました．
近づき方がいろいろある分，ややこしいということを強調しました．
● 最後に（プロジェクタとPCをつなぐケーブルがない，というトラブルがありましたが）Mathematicaを用いて2変数関数のグラフの例をいくつか紹介しました．