Tomoki Kawahira
/ Graduate School of Economics / Hitotsubashi University
Tomoki Kawahira
/ Graduate School of Economics / Hitotsubashi University
前期の複素関数論から引き続き，正則関数（複素解析的関数）の理論を学びます．
（講義で配布したプリントをまとめたものはこちらです→
14W-kansuron.pdf
）
（参考資料：
2013年度の本講義）
第13回(2015/1/27) 期末試験
● 無事終了しました．
第12回(2015/1/20) リーマン球面とメビウス変換
● まずリーマン球面とその距離について解説．
● 複素平面上の円または直線がリーマン球面上の円となることを解説．
● メビウス変換を導入し，メビウス変換が円を円にうつすことを証明．
応用として幾何学の問題（互いに外接する三円に内接・外接する円の存在）を
ときました．
第11回(2015/1/13) 解析接続とリーマン面
● まず「解析接続」の定義と具体例，一意性に関する説明をしました．
● 「解析接続」から生じる正則関数の多価性の具体例（平方根）について解説．
● 平方根のリーマン面を複素平面の切り貼りで構成しました．
第10回(2014/12/16) 一致の定理・最大値原理
● 一致の定理の証明からスタート．
● ルーシェの定理のMathematicaによるデモンストレーションを見せました．
最大値原理の主張と応用を解説．
● 最大値原理の証明．そのあと，パソコンで正則関数の絶対値のグラフを見せました．
第9回(2014/12/2) ルーシェの定理と一致の定理
● 「偏角の原理」の名前の由来を説明しました．
● ルーシェの定理を解説・証明（「偏角の原理」を用いる）しました．
● 「一致の定理」の意義と応用について解説しました．
第8回(2014/11/25) 実積分への応用２・偏角の原理
● (sin x)/x の広義積分の計算（「留数の半分」が出てくるやつ）
をスケッチ．
● 正則関数の拡張としての有理型関数の定義．
極と零点の位数を定義．
● 偏角の原理の主張と計算例，証明をやりました．
第7回(2014/11/18) 実積分への応用
● 留数定理を復習したあと，留数の計算公式をふたつ紹介．
● 留数定理の実三角関数1/(5 + cos x) の積分への応用．
● 有理関数 1/(1 + x^4)の広義積分への応用．
● 超越関数 (cos x)/(1 + x^2) の広義積分への応用．
第6回(2014/11/11) 留数定理
● 前回やり残した「ローラン展開の一意性」の証明を解説しました．
● 孤立特異点の分類と留数の定義，具体例をやりました．
● 積分との関連，留数定理の定式化と具体例をやりました．
実積分への応用は，来週に．
第5回(2014/11/04) ローラン展開
● 関数列の「広義一様収束」を定義して，
テイラー展開がじつは収束円上で広義一様収束すること，
「ワイエルシュトラスの定理」
（正則関数列が広義一様収束すればその導関数も広義一様収束）を証明．
● Mathematicaでべき級数を視覚化するプレゼンテーション．
そのあと，ローラン展開の証明．
● ローラン展開の一意性について解説．
具体例の計算．
第4回(2014/10/28) テイラー展開と一様収束
● 「積分公式」を復習したあと，べき級数とテイラー展開について解説．
「積分と無限和の交換」を認めた上で証明を終わらせて，
具体例をいくつか計算．
● 一様収束性を定義．そのとき，連続性が保存されること，
積分の値が収束することを解説．
● テイラー展開で「積分と無限和の交換」が許されることを確認しました．
第3回(2014/10/21) 積分定理の応用
● 前回の復習として「積分公式」「積分定理」を述べた後，
「高階微分の積分公式（グルサの公式）」の証明をスケッチ（詳細はプリントで）して最初の休憩．
● 次に「モレラの定理」を証明．原始関数の考え方を説明して2回目の休憩．
● 「リュービルの定理」，「代数学の基本定理」を証明しました．
第2回(2014/10/14) 積分定理と積分公式
● まずは「積分定理」の確認．
「単連結領域」「単純閉曲線」など，
必要な言葉づかいをイチから確認．ここまでで1時間．
● つぎに「積分定理」の応用．
積分路の変形，基本公式2を解説．
そのあと，三角不等式とML不等式（と勝手に命名，
線積分の絶対値評価式のこと．）を紹介．
● 最後にコーシーの積分公式とその証明を解説．
残った時間で「グルサの公式」（高階微分の積分公式）
の主張を述べて，
系として「正則関数の導関数は正則」を証明しました．
「グルサ」の証明は来週やる予定です．
第1回(2014/10/07) ちからだめし（前期の復習）
● 講義の概要を説明しTAさんを紹介．
そのあと1時間かけて「ちからだめし」テスト．
内容は「『正則関数』の定義は？」といった確認問題と基本的な計算問題．
● のこりの2時間で「ちからだめし」の解説．
前期の復習（「積分定理」までしかやらないことになっている）だけではなく，
正則関数の定義やコーシーの積分定理の主張など，
「言葉づかい」を統一するのが主な目的でした．