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微分積分学第二
(2020年度第4Q,月3・4限 + 金1・2限/ 川平担当)

1変数および多変数の関数について,微分積分学の基礎を学びます.
講義で配布したプリントをまとめたもの: PDF

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第1回(2020/12/4) 数列の収束と上限・下限
誤差の話から数列の収束性のε-N 式の定義を説明. 簡単にその性質を確認しました. 上限と下限については次回詳しくお話しします.

第2回(2020/12/7) 実数の連続性,単調列,区間縮小法(オンデマンド)
数列の極限の値を知らない状態で,いかにして極限の存在を保証するか? という問題をテーマに,実数の連続性の公理(上限・下限の存在), 有界単調列の収束,区間縮小法の原理について解説しました. コーシー列については次回やります.

第3回(2020/12/11) コーシー列,関数の極限,連続性,最大値(オンデマンド)
前回やり残したコーシー列について,ゆっくりめに詳しく解説. そのあと,ε-δ式の関数の極限の定義, 連続性の定義,および閉区間における最大値の存在について解説しました. 講義プリントには中間値の定理についても書きましたが, そちらはまた次回に.

第4回(2020/12/14) 中間値の定理,ロルの定理,平均値の定理
中間値の定理を方程式の数値解法という視点で解説. ロルの定理,平均値の定理に証明を与えて, 平均値の定理の応用(微分が 0 なら定数関数,など)をやりました. ロピタルの定理は次回に.

第5回(2020/12/18) テイラー展開
前回の復習のあと,ロピタルの定理(を使うことの難しさ)を説明. 高階導関数やC^n級関数の概念を定義し, テイラー展開の意義と主張を述べました. 証明や応用については詳しくは次回にやります.

第6回(2020/12/21) テイラー展開の応用
テイラー展開の証明を解説したあと, テイラー展開の例として指数関数のマクローリン展開, e の近似計算,三角・対数関数のマクローリン展開を紹介. Mathematica によるテイラー多項式のグラフも デモンストレーションしました. テイラー級数の話は次回に.

第7回(2020/12/25) 一様連続性と定積分
前回のテイラー展開のごく簡単な復習. 一様連続性の定義と具体例,十分条件(閉区間上の連続関数は一様連続) について解説,さらに 積分可能性の厳密な定義とその十分条件(閉区間上の連続関数は積分可能) について解説. 最後に,リーマン和と定積分の誤差に関する定理を述べておわりました. 詳しくは次回やります. また,前回テイラー展開の証明を解説するのを忘れていたので, それは年明けの次回ということにさせてください.

第8回(2021/1/8) 点集合・多変数関数の極限と連続性
前回,いや前々回にやり忘れていたテイラー展開の証明を紹介(n=2の場合). 前回の一様連続性と定積分について復習したあと, そのあと,n次元ユークリッド空間の基本性質と 開集合・閉集合・領域の定義などをやりました. 極限や連続性についてはやる時間がなかったので, 次回ちゃんとやります.

第9回(2020/1/14) 多変数関数の微分
点列の極限の関数の極限,連続性をやったあと, 前回のアンケートに対する回答で休憩. 1次関数の話と全微分の定義をしたところで終わりました.

第10回(2021/1/18) 合成関数の微分
前回の復習を一通りやったあと,前回のアンケートに対する回答. 偏微分を一般次元でやったあと,合成関数の微分について,勾配ベクトルを用いて説明. 具体例は次回やります.

第11回(2021/1/22) テイラー展開と極大・極小
前回の復習のあと,合成関数の微分公式の具体例をやりました. そのあと,1変数関数の極大・極小の判定に2次のテイラー展開を用いる方法を解説し, 2変数関数の2次テイラー展開とその証明のスケッチをやりました.

第12回(2021/1/25) 級数の収束・絶対収束
前回の復習のあと,2変数関数の2次テイラー展開の具体例と, 極大・極小・鞍点の判定法についてやりました.

第13回(2021/1/29) べき級数
極大・極小・鞍点の判定法の具体例をやったあと, 複素数列が定める級数の収束・発散・絶対収束 についてその定義と意味を学びました. べき級数の残りの部分に関してはプリントに加え, ビデオを提供します. 詳しくはOCW-iの講義ページをご覧ください.

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